Действительные числа и квадратные корни

Действительные числа включают в себя все рациональные и иррациональные числа. Квадратный корень из числа a (корень 2-й степени) — это число x, которое при возведении в квадрат дает a. То есть, x · x = a. Это также можно определить как решение уравнения x2 = a. Операция вычисления значения квадратного корня из числа a называется "извлечением квадратного корня" из этого числа.

Пример: √25 = 5, поскольку 25 = 5 · 5, или 52 (5 "в квадрате").

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из числа a обозначается с помощью знака корня (радикала) и его значение при a ≥ 0 всегда неотрицательно. Если a положительно, то арифметический корень также положителен.

Свойства арифметического квадратного корня

Основные свойства вещественного квадратного корня (все подкоренные выражения считаются неотрицательными):

a2 = |a|

√(a · b) = √a · √b (корень из произведения равен произведению корней из сомножителей)

√(a / b) = √a / √b (b ≠ 0)

Применение свойств арифметического квадратного корня

Квадратные корни используются повсеместно в математике и естественных науках. Они встречаются в формулах для вычисления корней квадратного уравнения, в определении евклидовой нормы в евклидовом пространстве, в определении стандартного отклонения случайной величины и многих других местах.

Примеры решения уравнений с квадратными корнями

Решим уравнение x2 = 9. Квадратный корень из 9 равен 3, поэтому решениями уравнения будут числа 3 и -3 (так как (-3)2 также равно 9).

Решим уравнение x2 = 16. Квадратный корень из 16 равен 4, поэтому решениями уравнения будут числа 4 и -4 (так как (-4)2 также равно 16).