Путешествие в мир последовательностей

Давай представим, что последовательности – это как ноты, которые играют музыку математики! Они позволяют нам выстроить целую симфонию из чисел. Итак, готовы ли вы начать? Перед тем как зажигать с огнем формул, разберемся с нотами – индексными обозначениями.

Члены последовательности обычно обозначаются буквой a с индексом, который указывает на номер этого члена в последовательности. Например, a1, a2, a3, a4 и так далее. Это как адреса в гигантском городе чисел!

Как задать последовательность формулой n-го члена

Если мы хотим задать всю последовательность одной формулой, мы используем an, где n – это номер члена последовательности. Это как магический ключ, открывающий дверь к любому члену последовательности!

Например, для арифметической прогрессии формула будет выглядеть так: an = a1 + (n-1)*d, где a1 – первый член последовательности, d – разность между членами последовательности (она всегда постоянна), n – номер члена последовательности, который мы хотим найти.

Откуда взялась формула арифметической прогрессии

Для начала, представим последовательность так: 2, 4, 6, 8. Здесь a1 = 2, а d (разность) равна 2, потому что каждый следующий член больше предыдущего на 2. Так, чтобы получить третий член последовательности (6), мы просто прибавляем разность к первому члену два раза: a1 + 2d = 2 + 2*2 = 6. Так мы получили формулу an = a1 + (n-1)*d!

Как найти сумму первых n-членов прогрессии

Представь, что мы хотим сложить все числа в нашей последовательности. Например, все до 8-го числа. Вместо того, чтобы складывать их все вручную, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии: Sn = (a1 + an)*n/2, где Sn – это сумма первых n членов прогрессии.

Решение задач с использованием этих формул

Теперь давай применим эти знания на практике! Пусть у нас есть задача: найти 10-й член и сумму первых 10 членов прогрессии, если a1 = 3, и d = 2.
Сначала найдем 10-й член прогрессии, используя формулу: an = a1 + (n-1)*d = 3 + (10-1)*2 = 21.
Теперь найдем сумму первых 10 членов прогрессии, используя формулу суммы: Sn = n/2 * (a1 + an) = 10/2 * (3 + 21) = 5 * 24 = 120.

Вот и все, что нужно знать об арифметической прогрессии для 9-го класса. С этими формулами и знаниями вы готовы завоевывать мир последовательностей! Удачи на вашем путешествии в мир математики!